Percurso da aula

Lei de Newton • força peso • aceleração da gravidade • interior da Terra • órbitas • marés • energia gravitacional • velocidade de escape.

Primeira série do Ensino Médio — matemática básica, rigor e simulações.

Kepler: como os planetas se movem

Newton: por que se movem assim

A gravidade fornece a força responsável pela aceleração dos corpos em órbita.

Isaac Newton (1642/43–1727)

Em 1687, publicou os Principia. A mesma teoria descreve a queda de objetos e movimentos planetários.

O episódio da maçã é uma tradição histórica, não uma prova experimental isolada.

Contribuições anteriores

Kepler forneceu regularidades observacionais; Galileu investigou movimento e queda; Newton articulou dinâmica e gravitação.

Interação mútua

Dois corpos se atraem. Cada um exerce uma força gravitacional sobre o outro, de mesmo módulo e sentidos opostos.

Esquema

Expressão matemática

M e m: massas (kg); r: distância entre centros (m); Fᵍ: força em newtons (N).

Constante gravitacional

G é universal. Não confundir com g, aceleração gravitacional local.

Como desenhar

Vetores em sentidos opostos

Proporcionalidade direta

Lei do inverso do quadrado

Comparação

Explore as variáveis

Interpretação visual

Ajuste a separação e observe a intensidade calculada.

Distância r

Para duas esferas, r é medida entre os centros, não entre as superfícies.

Exemplo

Duas esferas de raios 2 m e 3 m, afastadas 5 m entre as superfícies.

Definição

Peso gravitacional é a força que um astro exerce gravitacionalmente sobre um corpo.

Seu vetor aponta, aproximadamente, para o centro do astro.

Consequências

Massa é propriedade do corpo, em kg. Peso é força, medida em N, e depende do local.

Definição

É a interação atrativa entre massas. Para um astro esférico ideal:

Onde as descrições se encontram

Quando consideramos a gravidade de um astro como responsável pelo peso do corpo, peso e força gravitacional são a mesma força.

Uma força, duas linguagens

Conclusão

Corpo sem resistência do ar

Em queda livre ideal, a força gravitacional (peso) é a resultante.

Diagrama de corpo livre

Peso gravitacional

Atração gravitacional. Em campo aproximadamente uniforme:

Leitura da balança

Uma balança mede a força de contato (normal). Num elevador acelerado, sua leitura pode mudar, mesmo quando a gravidade quase não muda.

Campo gravitacional

A intensidade g é a aceleração que um corpo de prova teria por ação apenas da gravidade, num modelo ideal.

Não depende da massa de prova

Dados aproximados

Substituindo

A Terra não é perfeita

A Terra é achatada nos polos e gira. Altitude, latitude e distribuição de massa mudam a aceleração medida.

O modelo esférico fornece um valor aproximado.

Valores de referência

Equador: cerca de 9,78 m/s²; polos: aproximadamente 9,83 m/s².

Pequenas alturas

Quando h é muito menor que R, a variação relativa de g é pequena.

Na sala de aula

Dedução

Resultado

Controle a altura

Compare o raio terrestre à distância total ao centro.

Terra e corpo

Atenção: a fórmula externa não serve diretamente

Para r menor que R, a expressão GM/r² não deve ser usada com toda a massa terrestre M.

É preciso considerar a massa contida dentro do raio r, sob simetria esférica.

Modelo escolar: densidade uniforme

Suponha uma esfera homogênea, não girante e de densidade constante.

Teorema das cascas — ideia qualitativa

Dentro de uma casca esférica uniforme, a atração gravitacional total da casca é nula.

Em um ponto a distância r do centro, apenas a massa na esfera de raio r determina g, para uma distribuição esfericamente simétrica.

Esquema

Densidade uniforme

Resultado

Substituição algébrica

Resultado importante

Centro

A simetria faz a atração de todas as direções se anular no centro.

Meio do raio e superfície

A curva interna cresce linearmente.

Modelo de esfera homogênea

No interior: reta crescente.

No exterior: decaimento quadrático.

Gráfico com as duas regiões

Curva idealizada. g da Terra real varia de outro modo em profundidade.

Controle a posição radial

Ponto no gráfico

Terra estratificada

A densidade não é constante. O núcleo é muito mais denso que muitas partes do manto e da crosta.

Assim, g pode crescer inicialmente abaixo da superfície e depois diminuir em direção ao centro.

O que permanece verdadeiro

No centro de uma Terra esfericamente simétrica, g = 0. Fora dela, g decresce aproximadamente com o quadrado da distância.

Massa e raio

Mais massa tende a aumentar g; maior raio tende a diminuir g, se a outra grandeza for fixa.

Compare superfícies

Lua ≈ 1,62 m/s². Marte ≈ 3,7 m/s². Terra ≈ 9,8 m/s².

Escolha o astro

Interpretação

Órbita circular ideal

A gravidade fornece a força centrípeta; ela aponta ao centro da trajetória.

Condições

Consideramos massa central muito maior que a do satélite, órbita aproximadamente circular e sem propulsão.

Passo a passo

Resultado

Queda livre orbital

Um satélite não deixa de ser atraído pela Terra. Sua velocidade tangencial faz com que “caia ao redor” do planeta.

Os astronautas experimentam microgravidade aparente porque nave e ocupantes caem juntos.

Diagrama

Duas parcelas

Energia potencial gravitacional

Para corpos separados por grande distância, com referência de energia nula no infinito:

Referência no infinito

Escolhemos Epg = 0 quando os corpos estão infinitamente afastados.

Como é preciso fornecer energia para separá-los, a energia potencial de um sistema ligado é negativa.

Perto da superfície

Para pequenas diferenças de altitude, a variação é aproximada por:

Conceito

É partir com rapidez suficiente para atingir distâncias arbitrariamente grandes sem nova propulsão, no modelo ideal de dois corpos e sem resistência do ar.

Condições do caso-limite

No limite mínimo de escape, a rapidez tende a zero quando a distância tende ao infinito.

Na posição inicial r = R

Muito longe

Manipulação algébrica

Resultado

Dados

Contas

Órbita circular próxima

Escape desde a superfície

Não necessariamente

O valor de 11,2 km/s se refere ao lançamento sem propulsão posterior, sem atmosfera, desde a superfície e com condições ideais.

Foguetes reais aceleram continuamente durante parte do voo.

Riscos de simplificação

Trajetórias, arrasto, rotação terrestre, empuxo do motor e gravidade de outros astros modificam os cálculos reais.

Escolha um mundo

Física da simulação

Usamos v = √[2GM/(R+h)].

Massa e raio

A Lua tem velocidade de escape de aproximadamente 2,4 km/s, enquanto a Terra tem cerca de 11,2 km/s.

Consequência

É mais fácil para moléculas rápidas escaparem da gravidade lunar ao longo de períodos geológicos.

Diferença das forças

A atração da Lua não tem a mesma intensidade em todos os pontos da Terra.

Essa diferença de aceleração gravitacional contribui para duas regiões de elevação da água.

Sol e Lua

O Sol também produz marés. Alinhamentos Sol–Terra–Lua favorecem marés de sizígia; ângulos próximos de 90° favorecem marés de quadratura.

Alinhamento

Lua nova ou cheia: Sol, Terra e Lua ficam aproximadamente alinhados. As contribuições de maré tendem a se reforçar.

Esquema simplificado

Quarto crescente/minguante

Direções das atrações solares e lunares ficam aproximadamente perpendiculares; as amplitudes de maré tendem a ser menores.

Esquema simplificado

A ponte de Newton

Não são necessárias duas leis: uma para maçãs e outra para planetas.

A força de atração pode mudar de intensidade com a distância, mas a lei é a mesma.

Em órbita

A Lua sofre aceleração devido à gravidade terrestre, que curva sua trajetória.

Satélites e GPS

Órbitas artificiais, navegação, previsão de posições e planejamento de manobras usam a gravitação como parte de seus modelos.

Exploração espacial

Missões a outros planetas combinam gravidade, energia, propulsão e assistências gravitacionais.

Interação, peso e gravidade

Órbitas e energia

Três perguntas para o estudante

Critérios de correção

Identificação de forças • interpretação dos modelos • organização algébrica • unidades corretas • justificativas físicas.